Risa/Asir 代数曲線論用パッケージ説明書

利用説明書

1.0 版

2004 年 8 月

by Shuhei Todo

関数簡易マニュアル

概要

このパッケージには、代数曲線の諸性質を調べるための関数が集められている。主な機能は、代数曲線に対して定義される以下の対象を計算できることである：

2曲線の交点の座標
特異点の座標
neighborhood graph（二次変換によって特異点がどのように分解されるかを表すtree）
既約曲線の種数
随伴曲線(adjoint curves)
二次曲線上の有理点
有理曲線（種数０の曲線）をパラメトライズする有理関数

その他、多項式の全次数を計算するといったような予備的な関数群が用意されている。ユーザーの入力する代数曲線の定義多項式は必ず有理数体上の変数x,y,z の斉次多項式でなければならない。

Notation

本書で用いられる記号について、次のような約束をしておく。

点[x,y,z] とは射影平面の点の斉次座標 (x:y:z)を意味し、特に断りがなければ、z=0でないときは必ずz=1となるように正規化されている。
Q は有理数体、を満たす点）からなるリストを返す。
Fは重複因子を持っていてはいけない（定義より重複因子の零点はすべて特異点である）。

[1] sing(16*x^6-24*z^2*x^4+9*z^4*x^2+4*z^2*y^4-4*z^4*y^2);
[[0,0,1],[(#4),0,1],[1/2,(#3),1],[-1/2,(#3),1],[0,1,0]]
[2] defpoly(alg(3));
2*t#3^2-1
[3] defpoly(alg(4));
4*t#4^2-3
[4] sing((x-y)*(y^2-x*z));
[[1,1,1],[0,0,1]]
[5] sing((x-y)^2*(y^2-x*z));
***Argument has multiple divisor***

参照: section nbh section multia

`nbh`

nbh(F): :: 曲線F=0 のneighborhood graph を返す。

return: リスト
F: 変数x,y,z の斉次多項式

曲線F=0 のneigborhood graph を表すリストを返す。 neighborhood graph とは二次変換によって特異点がどのように分解されるかを表すtreeである。分解によって現れる点のことを隣接点と呼ぶ。特異点、隣接点の情報は、それぞれ次のような ベクトルによって表される。

特異点
[ 点の個数, 点の座標, [重複度, 通常特異点(=1)かそうでない(=-1)か], [この（これらの）特異点から出てくる隣接点の情報(これ以上隣接点が現れない場合は"terminal")] ]
隣接点
[ 点の個数, [重複度, 通常特異点(=1)かそうでないか(=-1)か], [この（これらの）隣接点から出てくる隣接点の情報(これ以上隣接点が現れない場合は"terminal")] ]
一般に、特異点の座標は代数的数になる。この場合、代数的数を共役な代数的数で置き換えて得られる点もまた、特異点になる。この性質を利用して複数の特異点を一度に表示するのであるが、特異点ベクトルの最初の引数「点の個数」はこのような表示によって、いくつの特異点が表されているかを示している。したがって、特異点が有理点ならば、点の個数=1 である。隣接点ベクトルの最初の引数である「点の個数」は親ベクトルの表す各点から、この数だけ同じタイプの隣接点が出てくることを意味する。
neighborhood graph はこれらのベクトルを入れ子にしたリストによって表現されている。
```
[1] F=x^6+3*y^2*x^4+(3*y^4-4*z^2*y^2)*x^2+y^6;
x^6+3*y^2*x^4+(3*y^4-4*z^2*y^2)*x^2+y^6
[2] sing(F);
[[0,0,1],[(#0),1,0]]
[3] nbh(F);
[ 1 [0,0,1] [4,-1] [[ 1 [2,1] [terminal] ],[ 1 [2,1] [terminal] ]] ]
[ 2 [(#0),1,0] [2,-1] [[ 1 [1,1] [terminal] ]] ]
```
特異点[0,0,1] は重複度4 の通常でない特異点であり、 2つの隣接点をもつ。それらはどちらとも重複度2 の通常特異点である。特異点[(#0),1,0]の隣接点は単純点である。
Fは重複因子を持っていてはいけない。

参照: @xref{sing}

`genus`

genus(F): :: 曲線F=0 の特異点の座標からなるリストを返す.

return: 0以上の整数
F: 変数x,y,z の斉次多項式

曲線F=0 の種数を返す。
F は@tex $\overline{Q}[x,y,z]$ @end tex において既約でなければならない。この条件の下でしか正確な値が返される保証がない。Q[x,y,z] において既約であったとしても、が存在して、n-2 次の随伴曲線の定義多項式全体はと表される。adjoint2(F) は、このn-1 個の線形のパラメーターを含んだ斉次多項式を返す。n-1 次の随伴曲線も同様に定義される。n-1 次の随伴曲線の定義多項式全体も上と同様に、2n-1 個の線形パラメーターを含んだn-1 次の斉次多項式で表される。adjoint1(F) はこの多項式を返す。
最初にパラメーターのリストと、その長さが表示される。
Fは重複因子を持っていてはいけない。

[1] adjoint2(x^6+3*y^2*x^4+(3*y^4-4*z^2*y^2)*x^2+y^6);
[c2,c3,c4,c6,c7] 5
(c2-c4)*x^4+c3*y*x^3+(c2*y^2+c6*z*y)*x^2+(c3*y^3+c7*z*y^2)*x+c4*y^4
[2] adjoint1(F);
[c1,c7,c11,c12,c13,c15,c16,c17,c18,c19,c20] 11
(c1*y+(c11-c15+c18-c20)*z)*x^4+(c13*y^2+c7*z*y+c11*z^2)*x^3+(c17*z*y^2+c12*z^2*y
+c15*z^3)*x^2+(c13*z^2*y^2+c16*z^3*y+c18*z^4)*x+c17*z^3*y^2+c19*z^4*y+c20*z^5

参照: section restriction

`intpt`

intpt(F): :: 二次曲線F=0 上の整数点[x,y,z] をひとつ見つけて返す。整数点が存在しなければ、文字列no integer solutionを返す。

return: リスト、あるいは文字列no integer solution.
F: 変数x,y,z の二次の斉次多項式

二次曲線F=0 上に整数点(affineでいう有理点)があれば、その座標[x,y,z]を返す。x,y, z はすべて整数である。整数点が存在しないときは文字列no integer solution を返す。
三元二次形式の整数解を求める古典的なLegendreの方法を用いている。サブルーチンで二次の合同方程式を解く際、単に総当り法を用いているだけので、F の係数が大きくなると非常に時間がかかる。

[1] intpt(22*x^2-10*y^2+z^2+5*x*y+13*y*x-z*x);
[71,-121,473]
[2] intpt(22*x^2-10*y^2+z^2+5*x*y+12*y*x-z*x);
no integer solution

`parametrize`

parametrize(F): :: 有理曲線F=0 をパラメトライズする多項式の組を返す。

return: リスト
F: 有理曲線の定義多項式（変数x,y,z の斉次多項式）

有理曲線F=0（種数が0の曲線）は、変数t の多項式P(t),Q(t),R(t) およびx,y,zの斉次多項式S(x,y,z),T(x,y,z)を用いて(x:y:z)=(P(t):Q(t):R(t)), t=T(x,y,z)/S(x,y,z) とパラメーター表示される。parametrize(F) はこれらの多項式からなるリスト[P(t),Q(t),R(t),T(x,y,z)/S(x,y,z)] を返す（GCD(P(t),Q(t),R(t))=1 である）。一般にはP(t),Q(t),R(t) は係数に有理数の平方根を含む多項式となるが、有理数係数の多項式で曲線をパラメトライズできる場合は、常に有理数係数の多項式の組を返す（例えば曲線の次数が奇数の場合）。
F は@tex $\overline{Q}[x,y,z]$ @end tex において既約で、かつ種数が0でなければならないが、これらの条件が満たされているかどうかのチェックはなされない。

[1] parametrize(x^4+(2*y^2-z^2)*x^2+y^4+z^2*y^2);
[-t^3-t,t^3-t,t^4+1,(-x^2-y^2)/(z*x+z*y)]
[2] parametrize((x^2+y^2)^3-4*x^2*y^2*z^2);
heuristic2 failed...
heuristic3 succeed
[32256*t^6-133120*t^5-129024*t^4+1064960*t^3-516096*t^2
-2129920*t+2064384,-127008*t^6+1048320*t^5-2671232*t^4
+10684928*t^2-16773120*t+8128512,274625*t^6-3194100*t^5
+15678780*t^4-41555808*t^3+62715120*t^2-51105600*t+17576000,
(-126*x^4+1040*y*x^3-382*y^2*x^2+1040*y^3*x-256*y^4)
/(-65*x^4+520*y*x^3+(-65*y^2-32*z*y)*x^2+(520*y^3+256*z*y^2)*x)]
[3] parametrize(22*x^2-10*y^2+z^2+5*x*y+12*y*x-z*x);
[(220*#6-10)*t^2+(-22*#6+1),(374*#6-17)*t^2+(-22*#6-43)*t,
(220*#6+210)*t^2+(-374*#6+17)*t+22,(-y)/((22*#6-1)*x+z)]

参照: section genus

その他の関数

`tdeg`

tdeg(Poly): :: 多項式Polyの全次数を返す。

return: 0以上の整数
Poly: 多項式

多項式Polyの全次数を返す。

[1] tdeg(u^3+v^3-x*y*z*w);
4
[956] tdeg((x^3+y^2+z)*(a^2+b+1));
5

`homzation`

homzation(AF): :: 変数x,yの多項式を斉次化してx,y,zの斉次多項式にする。

return: 変数x,y,zの斉次多項式
F: 変数x,yの多項式

変数x,yの多項式を斉次化してx,y,zの斉次多項式にする。入力する多項式の変数はx,yでなければならない。

[1] homzation((x^2+4*x^3+6*x^4)-4*x^4*y
+(-2*x-4*x^2-2*x^3)*y^2+y^4);
(-4*y+6*z)*x^4+(-2*y^2+4*z^2)*x^3
+(-4*z*y^2+z^3)*x^2-2*z^2*y^2*x+z*y^4
[958] homzation(u*v+1);
Input must be polynomial of variable x,y

`random_line`

random_line(Pt,B[,Seed]): :: 点Pt(=[x,y,z])を通る直線をひとつランダムに返す。

return: 変数x,y,zの一次式
Pt: 点を表すリスト
B: 自然数
Seed: 自然数

点Pt(=[x,y,z])を通る直線の方程式で各係数の値が-B以上B未満のものを、ひとつランダムに返す。
Seedはサブルーチンでrandom([Seed])を用いる際に使用される。

[1] random_line([0,0,1],1);
x-8*y

`multia`

multia(F,Pt): :: 曲線F=0 の点Pt(=[x,y,z])における重複度を返す。

return: 0以上の自然数
F: 変数x,y,z の斉次多項式
Pt: 点を表すリスト

曲線F=0 の点Pt(=[x,y,z])における重複度を返す。FをN 階偏微分して得られる多項式が初めて点Ptで 0にならないとき、整数Nを曲線F=0の点Ptにおける重複度という。

[1] multia((4*y^2+4*z^2)*x^4+8*z^3*x^3+8*z^2*y^2*x^2-8*z^5*x+
4*z^4*y^2-4*z^6,[0,0,1]);
0
[2] multia((4*y^2+4*z^2)*x^4+8*z^3*x^3+8*z^2*y^2*x^2-8*z^5*x+
4*z^4*y^2-4*z^6,[0,1,0]);
4
[3] multia((4*y^2+4*z^2)*x^4+8*z^3*x^3+8*z^2*y^2*x^2-8*z^5*x+
4*z^4*y^2-4*z^6,[1,0,0]);
2

参照: @xref{sing} section nbh

`irr_conic`

irr_conic(F): :: 三元二次形式Fがで既約かどうかを判定する。

return: 文字列
F: 変数x,y,z の二次の斉次多項式

三元二次形式Fがで既約ならばirreducibleを、可約ならばreducible を返す。

[1] irr_conic(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
reducible
[2] fctr(x^2+y^2+z^2-x*y-y*z-z*x);
[[1,1],[x^2+(-y-z)*x+y^2-z*y+z^2,1]]

`lissajou`

lissajou(M,N): :: @tex $x=\sin(M\theta),y=\cos(N\theta)$ によって定義されるリサージュ曲線の陰関数表示

return: 変数x,y,zの斉次多項式
M N: 互いに素な自然数

@tex $x=\sin(M\theta),y=\cos(N\theta)$ によって定義されるリサージュ曲線の陰関数表示（変数x,y,zの斉次多項式）を返す。

[984] lissajou(3,4);
64*x^8-128*z^2*x^6+80*z^4*x^4-16*z^6*x^2+16*z^2*y^6
-24*z^4*y^4+9*z^6*y^2
[985] lissajou(2,7);
4096*x^14-14336*z^2*x^12+19712*z^4*x^10-13440*z^6*x^8
+4704*z^8*x^6-784*z^10*x^4+49*z^12*x^2+4*z^10*y^4-4*z^12*y^2

`restriction`

restriction(A,List): :: 特定の点を通る随伴曲線の定義多項式を計算したいときに用いる。

return: 線形のパラメーターを含むx,y,zの斉次多項式
A: adjoint1,adjoint2から返される形と同様の、線形パラメーターつきの変数x,y,zの斉次多項式
List: 点[x,y,z]からなるリスト

adjoint1,adjoint2から返される線形パラメーター付の斉次多項式が、Listに含まれる各点を零点にもつためには、線形パラメーターの間にいくつかの（Q上の）一次関係式が成り立てばよい。この条件を加味して、新たな線形パラメーター付の斉次多項式を作る。
Listに含まれる点は、intersectやsing から返される点を使うことを想定している。