1変数代数的局所コホモロジー類用パッケージ taji_alc

1.0 版

2007 年 11 月

庄司卓夢, 田島慎一

1変数代数的局所コホモロジー類

1変数代数的局所コホモロジー類用のパッケージ taji_alc について

この説明書では 1変数代数的局所コホモロジー類用のパッケージ taji_alc について説明する. 数学的解説や背景については, 解説記事 "1変数代数的局所コホモロジー類用に対する Risa/Asir 用パッケージ taji_alc" (Risa/Asir Journal (2007)) およびその参考文献を参照.

1変数代数的局所コホモロジー類用の関数

本セクションの関数を呼び出すには,

import("taji_alc.rr")$

を実行してプログラムをロードする.

`taji_alc.cpfd`

taji_alc.cpfd(num,den): :: 有理関数num/denの部分分数分解を求める.

return: switchが0か1ならば, [[[分子,[分母の因子,重複度]],...],...] なるリスト. switchが10か11ならば, [[分子,[分母の因子,重複度]],...] なるリスト.
num: (有理関数の分子の) 多項式
den: (有理関数の分母の) 多項式または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト
switch: オプション指定 case 0 : completeな部分分数分解を返す. (分子は有理数係数多項式) case 1 : completeな部分分数分解を返す. (分子は整数係数化リスト) case 10 : 分母を冪展開しない部分分数分解を返す. (分子は有理数係数多項式) case 11 : 分母を冪展開しない部分分数分解を返す. (分子は整数係数化リスト) default : case 0

taji_alc.cpfd()は, properな有理関数を対象とする. 入力値がproperでない場合でも正常に動作するが, 多項式として出てくる部分は表示しない.
部分分数分解は, 冪展開をするcompleteなタイプと, 冪展開をしないタイプの2つのタイプがある. taji_alc.cpfd()で採用しているアルゴリズムでは, 前者が先に求まる. 後者は, 前者のデータをホーナー法で足し上げて求める.
denは, リストでの入力が望ましい. (多項式で入力すると, 簡約化の処理が生じるため重くなる.) ただしその場合には, 既約チェック, 有理式の約分, 整数係数化は行わないので注意する. 入力値はユーザ側が責任をもつ.

[235] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1);
[[[1/2*x-1,[x^2+1,1]]],[[-1/2,[x+1,2]],[1/2,[x+1,1]]]]
[236] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1|switch=1);
[[[[x-2,2],[x^2+1,1]]],[[[-1,2],[x+1,2]],[[1,2],[x+1,1]]]]
[237] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1|switch=10);
[[1/2*x-1,[x^2+1,1]],[1/2*x,[x+1,2]]]
[238] taji_alc.cpfd(x^3-x-1,x^4+2*x^3+2*x^2+2*x+1|switch=11);
[[[x-2,2],[x^2+1,1]],[[x,2],[x+1,2]]]

参照

ChangeLog

`taji_alc.snoether`

taji_alc.snoether(num,den): :: 有理関数num/denが定める代数的局所コホモロジー類のネーター作用素を求める.

return: [[因子,ネーター作用素],...] なるリスト. ネーター作用素は, 係数を高階の部分から降順に並べたリスト
num: (有理関数の分子の)多項式
den: (有理関数の分母の)多項式または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト.
switch: オプション指定 case 0 : ネーター作用素を [有理数係数多項式,...] なるリストで返す. case 1 : ネーター作用素を [整数係数化リスト,...] なるリストで返す. case 10 : ネーター作用素を [[整数係数多項式,...],整数] なるリストで返す. case 20 : ネーター作用素を [[整数係数化リスト,...],整数] なるリストで返す. default : case 0

taji_alc.snoether()は, denをQ上で既約分解し, 各因子に対応するネーター作用素を返す.
denは, リストでの入力が望ましい. (多項式で入力すると, 簡約化の処理が生じるため重くなる.) ただしその場合には, 既約チェック, 有理式の約分, 整数係数化は行わないので注意する. 入力値はユーザ側が責任をもつ.
戻り値の型はswitchで選択できる. case 10は, ネーター作用素の各係数全体を通分し, その分母部分と階乗の積をリストで分けた表現である. わかりやすいが, 通分値と係数部分とで約分できる部分がある(特に高階の部分に多い)ので, 冗長性をもっている. case 20は, 階乗の部分で全体をくくり(リストで分け), ネーター作用素の各係数を個別に通分しリスト化する. 階乗の部分と係数部分とで約分できる部分がある(特に低階の部分に多い)ので, 冗長と言えなくもない(case 10よりはまし)が, 数学的な構造が綺麗に見える表現である.

[296] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]);
[[x^3-x-1,[9/529*x^2-27/1058*x+11/1058,-81/529*x^2-9/529*x+135/529,-49
05/12167*x^2+4563/12167*x+3270/12167]]]
[299] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]|switch=1);
[[x^3-x-1,[[18*x^2-27*x+11,1058],[-81*x^2-9*x+135,529],[-4905*x^2+4563
*x+3270,12167]]]]
[297] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]|switch=10);
[[x^3-x-1,[[414*x^2-621*x+253,-3726*x^2-414*x+6210,-9810*x^2+9126*x+65
40],24334]]]
[298] taji_alc.snoether(1,[[x^3-x-1,3]]|switch=20);
[[x^3-x-1,[[[18*x^2-27*x+11,529],[-162*x^2-18*x+270,529],[-9810*x^2+91
26*x+6540,12167]],2]]]

[241] taji_alc.snoether(x^3+1,x^18-2*x^14+x^10-x^8+2*x^4-1|switch=10);
[[x^4+x^3+x^2+x+1,[[-2*x^2-x-2],50]],[x^4-x^3+x^2-x+1,[[-2*x^3+4*x^2-x
-2],50]],[x^2+1,[[-x+1,8*x+5],32]],[x+1,[[-6,-39],320]],[x-1,[[2,-24,6
7],320]]]

参照

ChangeLog

`taji_alc.laurent_expansion`

taji_alc.laurent_expansion(num,den): :: 有理関数num/denの極におけるローラン展開の主要部の係数を求める.

return: [[因子,ローラン展開の係数],...] なるリスト. ローラン展開の係数は, 高位の係数から順に並べたリスト.
num: (有理関数の分子の)多項式
den: (有理関数の分母の)多項式または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト
switch: オプション指定 case 0 : ローラン展開の係数を [有理数係数多項式,...] なるリストで返す. case 1 : ローラン展開の係数を [整数係数化リスト,...] なるリストで返す. case 10 : ローラン展開の係数を [[整数係数多項式,...],整数] なるリストで返す. case 20 : ローラン展開の係数を [[整数係数化リスト,...],整数] なるリストで返す. default : case 0

taji_alc.laurent_expansion()は, taji_alc.snoether()を使って, ローラン展開の係数を求める.
taji_alc.laurent_expansion()では, C上の1点に注目するのではなく, Q上での既約因子自体に注目してローラン展開の係数を求める. 戻り値の係数リストの各成分は, その因子の全ての零点が共通に満たすローラン展開の係数多項式である. 従って, 1点ごとのローラン展開の係数をさらに求めたい場合には, 求めたローラン展開の係数多項式に因子の零点(即ち特異点)の値を代入する必要がある.

[354] taji_alc.laurent_expansion(x,(x-1)^3);
[[x-1,[1,1,0]]]
[356] taji_alc.laurent_expansion(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,(x^4+1)^3);
[[x^4+1,[1/64*x^2+1/64*x,1/16*x^3+1/16*x^2-3/128*x-5/128,-5/128*x^3-1/
8*x^2-3/16*x]]]

参照: section taji_alc.snoether

ChangeLog

`taji_alc.residue`

taji_alc.residue(num,den): :: 有理関数num/denの極における留数を求める.

return: [[因子,留数],...] なるリスト
num: (有理関数の分子の) 多項式
den: (有理関数の分母の) 多項式または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト
switch: オプション指定 case 0 : 留数を有理数係数多項式で返す. case 1 : 留数を整数係数化リストで返す. default : case 0
pole: オプション指定 [因子,...] なるオプションリスト

taji_alc.residue()は, denをQ上で既約分解し, 各因子の零点(即ち有理関数の極)における留数を返す.
オプションでpoleを指定すればその因子のみの留数を返す. 指定が不適当だと0を返す.
taji_alc.residue()で採用しているアルゴリズムでは, C上の1点に注目するのではなく, Q上での既約因子自体に注目して留数を求める. 戻り値の留数は, その因子の全ての零点が共通に満たす留数多項式である. 従って, 1点ごとの留数値をさらに求めたい場合には, 求めた留数多項式に因子の零点(即ち特異点)の値を代入する必要がある.
```
[219] taji_alc.residue(1,x^4+1);
[[x^4+1,-1/4*x]]
```
この例で言うと, 求めた留数多項式-1/4*xに, x^4+1の(4つある)零点をそれぞれ代入したものが個別の留数値である.
denは, リストでの入力が望ましい. (多項式で入力すると, 簡約化の処理が生じるため重くなる.) ただしその場合には, 既約チェック, 有理式の約分, 整数係数化は行わないので注意する. 入力値はユーザ側が責任をもつ.

[221] taji_alc.residue(x^8,[[x^3-x-1,3]]);
[[x^3-x-1,-2243/12167*x^2+2801/12167*x+5551/12167]]
[222] taji_alc.residue(x^2+x,[[x+1,3],[x-1,3],[x^2+3*x-1,2]]);
[[x^2+3*x-1,-284/4563*x-311/1521],[x-1,89/432],[x+1,7/432]]
[223] taji_alc.residue(x^2+x,[[x+1,3],[x-1,3],[x^2+3*x-1,2]]|switch=1)
;
[[x^2+3*x-1,[-284*x-933,4563]],[x-1,[89,432]],[x+1,[7,432]]]
[234] taji_alc.residue(x^2+x,[[x+1,3],[x-1,3],[x^2+3*x-1,2]]|switch=1,
pole=[x+1]);
[[x+1,[7,432]]]
[225] taji_alc.residue(x^3+1,x^18-2*x^14+x^10-x^8+2*x^4-1);
[[x^4+x^3+x^2+x+1,-1/25*x^2-1/50*x-1/25],[x^4-x^3+x^2-x+1,-1/25*x^3+2/
25*x^2-1/50*x-1/25],[x^2+1,1/4*x+5/32],[x+1,-39/320],[x-1,67/320]]

参照

ChangeLog

`taji_alc.invpow`

taji_alc.invpow(poly,f,m): :: 剰余体Q[x]/<f>上でのpolyの逆元のm乗を求める.

return: 逆冪
poly: 多項式
f: Q上で既約な多項式
m: 自然数
switch: オプション指定 case 0 : 逆冪を有理数係数多項式で返す. case 1 : 逆冪を整数係数化リストで返す. default : case 0

polyとfは互いに素でなければならない.
アルゴリズムの骨格は繰り返し2乗法である. そこに最小多項式の理論を応用して高速化している.

[236] taji_alc.invpow(3*x^2-1,x^3-x-1,1);
-6/23*x^2+9/23*x+4/23
[237] taji_alc.invpow(3*x^2-1,x^3-x-1,1|switch=1);
[-6*x^2+9*x+4,23]
[238] taji_alc.invpow(3*x^2-1,x^3-x-1,30|switch=1);
[1857324483*x^2-2100154824*x-477264412,266635235464391245607]

参照

ChangeLog

`taji_alc.rem_formula`

taji_alc.rem_formula(polylist): :: 多項式f(x)を与えたときの剰余公式を求める.

return: switch および説明文を参照
polylist: f(x)をQ上で既約分解した [[因子,重複度,零点の記号],...] なるリスト
switch: オプション指定 case 0 : xの冪で整理し, リストで返す. case 10 : f(x)の冪で整理し, リストで返す. (一因子の場合のみ対応) case 20 : xの冪で整理し, symbolicな表現で返す. default : case 0

アルゴリズムは, エルミートの補間剰余を用いている.
剰余公式の表現方法はいくつか考えられるため, switchで選択式とした.
switch=0 の戻り値の見方を述べる. 例として, f(x)=f1(x)^m1*f2(x)^m2を考える. 入力は [[f1(x),m1,z1],[f2(x),m2,z2]] となる. そのとき戻り値は, [r_{f1}(x,z1),r_{f2}(x,z2)] なるリストで返される. これは, 剰余公式がなる形で与えられることを意味している. 各成分のr_{fi}(x,zi)は, [p^(mi-1)(zi)の係数となるxとziの多項式,...,p^(0)(zi)の係数となるxとziの多項式] なるリストである.
switch=10 の戻り値の見方を述べる. 例として, f(x)=f1(x)^mを考える. 入力は [[f1(x),m,z]] となる. そのとき戻り値は, [r_(m-1)(x,z),...,r_0(x,z)] なるリストで返される. 各成分は, 剰余公式をのようにf1(x)の冪で展開したときの各係数を意味している. 各成分のr_{i}(x,z)は, [p^(m-1)(z)の係数となるxとzの多項式,...,p^(0)(z)の係数となるxとzの多項式] なるリストである.
switch=20 の戻り値の見方を述べる. symbolicな出力のp^(m)(z)は, p(x)のm階の導関数にzを代入した値という意味である.
戻り値は, 与えた因子の全ての零点を代入したものの和として見る. これは因子が2次以上の多項式の場合に関係してくる. 例えば,
```
[228] taji_alc.rem_formula([[x^2+1,1,z]]);
[[-1/2*z*x+1/2]]
```
の正しい見方は, x^2+1の零点をa1,a2とおいたときに, zにa1とa2を代入した, r(x)=(-1/2*a1*x+1/2)+(-1/2*a2*x+1/2) である. しかし出力では, 零点の和の部分を便宜上省略して返す.

[583] taji_alc.rem_formula([[x-1,1,z1],[x-2,1,z2]]);
[[-x+2],[x-1]]
[584] taji_alc.rem_formula([[x-1,1,z1],[x-2,1,z2]]|switch=20);
(-p^(0)(z1)+p^(0)(z2))*x+2*p^(0)(z1)-p^(0)(z2)

[587] taji_alc.rem_formula([[x-1,2,z1]]);
[[x-1,1]]
[588] taji_alc.rem_formula([[x-1,2,z1]]|switch=20);
p^(1)(z1)*x-p^(1)(z1)+p^(0)(z1)

[494] taji_alc.rem_formula([[x-1,3,z1]]|switch=20);
1/2*p^(2)(z1)*x^2+(-p^(2)(z1)+p^(1)(z1))*x+1/2*p^(2)(z1)-p^(1)(z1)+p^(
0)(z1)

[229] taji_alc.rem_formula([[x+1,2,z1],[x^3-x-1,1,z2]]);
[[-x^4-x^3+x^2+2*x+1,-2*x^4-3*x^3+2*x^2+5*x+3],[(-1/23*z2^2-10/23*z2+1
6/23)*x^4+(-12/23*z2^2-5/23*z2+31/23)*x^3+(-5/23*z2^2+19/23*z2-12/23)*
x^2+(22/23*z2^2+13/23*z2-53/23)*x+16/23*z2^2-1/23*z2-26/23]]
[230] taji_alc.rem_formula([[x+1,2,z1],[x^3-x-1,1,z2]]|switch=20);
(-1/23*p^(0)(z2)*z2^2-10/23*p^(0)(z2)*z2-2*p^(0)(z1)+16/23*p^(0)(z2)-p
^(1)(z1))*x^4+(-12/23*p^(0)(z2)*z2^2-5/23*p^(0)(z2)*z2-3*p^(0)(z1)+31/
23*p^(0)(z2)-p^(1)(z1))*x^3+(-5/23*p^(0)(z2)*z2^2+19/23*p^(0)(z2)*z2+2
*p^(0)(z1)-12/23*p^(0)(z2)+p^(1)(z1))*x^2+(22/23*p^(0)(z2)*z2^2+13/23*
p^(0)(z2)*z2+5*p^(0)(z1)-53/23*p^(0)(z2)+2*p^(1)(z1))*x+16/23*p^(0)(z2
)*z2^2-1/23*p^(0)(z2)*z2+3*p^(0)(z1)-26/23*p^(0)(z2)+p^(1)(z1)

[231] taji_alc.rem_formula([[x^3-x-1,2,z]]|switch=10);
[[[(3/23*z^2-4/23)*x^2+(-1/23*z+3/23)*x-4/23*z^2+3/23*z+4/23,(162/529*
z^2-174/529*z-108/529)*x^2+(-105/529*z^2+54/529*z+70/529)*x-108/529*z^
2+116/529*z+72/529],[(-6/23*z^2+9/23*z+4/23)*x^2+(9/23*z^2-2/23*z-6/23
)*x+4/23*z^2-6/23*z+5/23]]]

参照

ChangeLog

`taji_alc.solve_ode_cp`

taji_alc.solve_ode_cp(poly,var,exppoly): :: 有理数係数の線形常微分方程式のコーシー問題の解を求める. ただし, Pはn階の有理数係数の線形常微分作用素, f(z)は指数多項式とする.

return

2通りの表現がある. ・表現1 (コーシーデータで整理した形) コーシー問題の一般解u(z)は, は, コーシー条件を満たすコーシー問題の特殊解である.

[287] taji_alc.solve_ode_cp(x*(x-3)^2,z,0);
[[[x-3,0],[x,1]],[[x-3,-z+2/3],[x,-2/3]],[[x-3,1/3*z-1/9],[x,1/9]]]

[289] taji_alc.solve_ode_cp((x^3-x-1)^2,z,0|switch=1);
[[[x^3-x-1,[(92*z+200)*x^2+(-69*z-254)*x-92*z+43,529]]],[[x^3-x-1,[(92
*z+420)*x^2+(-46*z-216)*x-161*z-280,529]]],[[x^3-x-1,[(-69*z-195)*x^2+
(23*z+327)*x+23*z+130,529]]],[[x^3-x-1,[(-161*z-270)*x^2+(69*z+290)*x+
184*z+180,529]]],[[x^3-x-1,[-105*x^2+(-23*z+54)*x+69*z+70,529]]],[[x^3
-x-1,[(69*z+162)*x^2-174*x-92*z-108,529]]]]

[277] taji_alc.solve_ode_cp(x^2-4,z,0);
[[[x+2,1/2],[x-2,1/2]],[[x+2,-1/4],[x-2,1/4]]]
[278] taji_alc.solve_ode_cp(x^2-4,z,0|data=[1,-1]);
[[x+2,3/4],[x-2,1/4]]
[279] taji_alc.solve_ode_cp(x^2-4,z,0|data=[c0,c1]);
[[x+2,1/2*c0-1/4*c1],[x-2,1/2*c0+1/4*c1]]

参照

ChangeLog

`taji_alc.solve_ode_cp_ps`

taji_alc.solve_ode_cp_ps(poly,var,exppoly): :: 有理数係数の線形常微分方程式のコーシー問題の特殊解を求める. ただし, 非斉次形のみを対象としているので, とする.

return: 指数多項式リスト
poly: 多項式 (Pの特性多項式) または (Pの特性多項式をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト
var: 不定元 (関数の独立変数)
exppoly: f(z)の指数多項式リスト
switch: オプション指定 case 0 : 指数多項式リストの2番目の成分を有理数係数多項式で返す. case 1 : 指数多項式リストの2番目の成分を整数係数化リストで返す. default : case 0
switch2: オプション指定 case 0 : コーシー問題の特殊解を返す. case 1 : 簡単な形の特殊解を返す. default : case 0

変数は2種類必要(特性多項式の変数と関数の独立変数). polyの不定元とvarの不定元が衝突しないよう注意.

[345] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-1,1]]);
[[x+3,1/20],[x-1,-1/4],[x-2,1/5]]
[346] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-1,1]]|switch2=1);
[[x-1,-1/4]]
[347] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-2,1]]);
[[x+3,1/25],[x-2,1/5*z-1/25]]
[348] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x-2,1]]|switch2=1);
[[x-2,1/5*z-1/25]]
[349] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x-2)*(x+3),z,[[x+1,1],[x-2,1]]|switch2
=1);
[[x+1,-1/6],[x-2,1/5*z+2/75]]

[350] taji_alc.solve_ode_cp_ps((x^3-x-1)*(x-3)^2,z,[[x-3,2],[x-1,3*z^2
+1]]);
[[x-1,[-6*z^2-36*z-119,8]],[x^3-x-1,[42291*x^2+55504*x+32313,12167]],[
x-3,[4232*z^2-4278*z-4295,97336]]]

参照

ChangeLog

`taji_alc.fbt`

taji_alc.fbt(num,den,var): :: 有理関数num/denが定める代数的局所コホモロジー類のフーリエ・ボレル変換を行う.

return: [指数多項式リスト,...] なるリスト
num: (有理関数の分子の) 多項式
den: (有理関数の分母の) 多項式または (有理関数の分母をQ上で既約分解した) [[因子,重複度],...] なるリスト
var: 不定元 (像の独立変数)
switch: オプション指定 case 0 : 指数多項式リストの2番目の成分を有理数係数多項式で返す. case 1 : 指数多項式リストの2番目の成分を整数係数化リストで返す. default : case 0

変数は2種類必要(代数的局所コホモロジー類の変数と像の独立変数). num/denの不定元とvarの不定元が衝突しないよう注意.
taji_alc.fbt()は, Res(Rat*exp(z*x))なる形の有理形関数の留数を求める. この有理形関数の留数は指数多項式となるため, 指数多項式リストで返す.
内部のアルゴリズムはtaji_alc.residue()とほぼ同じであり, 実際にtaji_alc.residue()を呼び出して計算を行っている.

[235] taji_alc.fbt(1,(x^3-x-1)^3,z);
[[x^3-x-1,(9/529*z^2-81/529*z-4905/12167)*x^2+(-27/1058*z^2-9/529*z+45
63/12167)*x+11/1058*z^2+135/529*z+3270/12167]]

参照: section taji_alc.residue

ChangeLog

`taji_alc.invfbt`

taji_alc.invfbt(exppoly,var): :: 指数多項式の逆フーリエ・ボレル変換を行う.

return: 有理関数
exppoly: 指数多項式リスト
var: 不定元 (指数多項式の独立変数)
switch: オプション指定 case 0 : 有理関数で返す. case 1 : 有理関数を[分子,分母をQ上で既約分解したリスト]なるリストで返す. default : case 0

変数は2種類必要(代数的数の最小多項式の変数と指数多項式の独立変数). 衝突しないよう注意.
taji_alc.invfbt()は, exppolyを, Res(Rat*exp(z*x))なる形の留数表示に変換し, Rat部分を返す.
taji_alc.fbt()の逆演算である.

[8] taji_alc.invfbt([[x^3-x-1,2*x^2*z^2+x*z+1],[x^2+1,z*x+z^2]],z|swit
ch=1);
[3*x^14+14*x^12+39*x^11+33*x^10+179*x^9+206*x^8+350*x^7+223*x^6+126*x^
5+176*x^4+107*x^3+101*x^2+15*x-4,[[x^2+1,3],[x^3-x-1,3]]]

[9] taji_alc.fbt(3*x^14+14*x^12+39*x^11+33*x^10+179*x^9+206*x^8+350*x^
7+223*x^6+126*x^5+176*x^4+107*x^3+101*x^2+15*x-4,[[x^2+1,3],[x^3-x-1,3
]],z);
[[x^3-x-1,2*z^2*x^2+z*x+1],[x^2+1,z*x+z^2]]

参照: section taji_alc.fbt

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Index

Jump to: t

t

taji_alc.laurent_expansion

taji_alc.rem_formula

taji_alc.residue

taji_alc.snoether

taji_alc.solve_ode_cp

taji_alc.solve_ode_cp_ps

Jump to:

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