9.5 代数的数に関する函数のまとめ

9.5.1 newalg

newalg(defpoly)

:: root を生成する.

return

代数的数 (root)

defpoly

多項式

• defpoly を定義多項式とする代数的数 (root) を生成する.
• defpoly に対する制限に関しては, See section 代数的数の表現.

[0] A0=newalg(x^2-2);
(#0)

参照

defpoly

9.5.2 defpoly

defpoly(alg)

:: root の定義多項式を返す.

return

多項式

alg

代数的数 (root)

• root alg の定義多項式を返す.
• root を #n とすれば, 定義多項式の主変数は t#n となる.

[1] defpoly(A0);
t#0^2-2

参照

newalg, alg, algv

9.5.3 alg

alg(i)

:: インデックスに対応する root を返す.

return

代数的数 (root)

i

整数

• root #i を返す.
• #i はユーザが直接入力できないため, alg(i) と いう形で入力する.

[2] x+#0;
syntax error
0
[3] alg(0);
(#0)

参照

newalg, algv

9.5.4 algv

algv(i)

:: alg(i) に対応する不定元を返す.

return

多項式

i

整数

• 多項式 t#i を返す.
• t#i はユーザが直接入力できないため, algv(i) と いう形で入力する.

[4] var(defpoly(A0));
t#0
[5] t#0;
syntax error
0
[6] algv(0);
t#0

参照

newalg, defpoly, alg

9.5.5 simpalg

simpalg(rat)

:: 有理式に含まれる代数的数を簡単化する.

return

有理式

rat

有理式

• ‘sp’ で定義されている.
• 数, 多項式, 有理式に含まれる代数的数を, 含まれる root の定義 多項式により簡単化する.
• 数の場合, 分母があれば有理化され, 結果は root の多項式となる.
• 多項式の場合, 各係数が簡単化される.
• 有理式の場合, 分母分子が多項式として簡単化される.

[7] simpalg((1+A0)/(1-A0));
simpalg undefined
return to toplevel
[7] load("sp")$
[46] simpalg((1+A0)/(1-A0));
(-2*#0-3)
[47] simpalg((2-A0)/(2+A0)*x^2-1/(3+A0));
(-2*#0+3)*x^2+(1/7*#0-3/7)
[48] simpalg((x+1/(A0-1))/(x-1/(A0+1))); 
(x+(#0+1))/(x+(-#0+1))

9.5.6 algptorat

algptorat(poly)

:: 多項式に含まれる root を, 対応する不定元に置き換える.

return

多項式

poly

多項式

• ‘sp’ で定義されている.
• 多項式に含まれる root #n を全て t#n に 置き換える.

[49] algptorat((-2*alg(0)+3)*x^2+(1/7*alg(0)-3/7));
(-2*t#0+3)*x^2+1/7*t#0-3/7

参照

defpoly, algv

9.5.7 rattoalgp

rattoalgp(poly,alglist)

:: 多項式に含まれる root に対応する不定元を root に 置き換える.

return

多項式

poly

多項式

alglist

リスト

• ‘sp’ で定義されている.
• 第 2 引数は root のリストである. rattoalgp() は, この root に対応する不定元を, それぞれ root に置き換える.

[51] rattoalgp((-2*algv(0)+3)*x^2+(1/7*algv(0)-3/7),[alg(0)]);
(-2*#0+3)*x^2+(1/7*#0-3/7)

参照

alg, algv

9.5.8 cr_gcda

cr_gcda(poly1,poly2)

:: 代数体上の 1 変数多項式の GCD

return

多項式

poly1 poly2

多項式

• ‘sp’ で定義されている.
• 2 つの 1 変数多項式の GCD を求める.

[76] X=x^6+3*x^5+6*x^4+x^3-3*x^2+12*x+16$
[77] Y=x^6+6*x^5+24*x^4+8*x^3-48*x^2+384*x+1024$
[78] A=newalg(X);
(#0)
[79] cr_gcda(X,subst(Y,x,x+A));
x+(-#0)

参照

gr, hgr, gr_mod, dgr, asq, af, af_noalg

9.5.9 sp_norm

sp_norm(alg,var,poly,alglist)

:: 代数体上でのノルムの計算

return

多項式

var

poly の主変数

poly

1 変数多項式

alg

root

alglist

root のリスト

• ‘sp’ で定義されている.
• poly の, alg に関するノルムをとる. すなわち, K = Q(alglist \ {alg}) とするとき, poly に現れる alg を, alg の K 上の共役に置き換えたもの 全ての積を返す.
• 結果は K 上の多項式となる.
• 実際には入力により場合わけが行われ, 終結式の直接計算や中国剰余定理に より計算されるが, 最適な選択が行われているとは限らない. 大域変数 USE_RES を 1 に設定することにより, 常に終結式により計算 させることができる.

[0] load("sp")$
[39] A0=newalg(x^2+1)$                 
[40] A1=newalg(x^2+A0)$
[41] sp_norm(A1,x,x^3+A0*x+A1,[A1,A0]);
x^6+(2*#0)*x^4+(#0^2)*x^2+(#0)
[42] sp_norm(A0,x,@@,[A0]);            
x^12+2*x^8+5*x^4+1

参照

res, asq, af, af_noalg

9.5.10 asq, af, af_noalg

asq(poly)

:: 代数体上の 1 変数多項式の無平方分解

af(poly,alglist)

af_noalg(poly,defpolylist)

:: 代数体上の 1 変数多項式の因数分解

return

リスト

poly

多項式

alglist

root のリスト

defpolylist

root を表す不定元と定義多項式のペアのリスト

• いずれも ‘sp’ で定義されている.
• root を含まない場合は整数上の函数が呼び出され高速であるが, root を含む場合には, cr_gcda() が起動されるためしばしば 時間がかかる.
• af() は, 基礎体の指定, すなわち第 2 引数の, root のリスト の指定が必要である.
• alglist で指定される root は, 後で定義されたものほど前の 方に来なければならない.
• af(F,AL) において, AL は代数的数のリストであり, 有理数体の 代数拡大を表す. AL=[An,...,A1] と書くとき, 各 Ak は, それより 右にある代数的数を係数とした, モニックな定義多項式で定義されていなければ ならない.

  [1] A1 = newalg(x^2+1);
  [2] A2 = newalg(x^2+A1);
  [3] A3 = newalg(x^2+A2*x+A1);
  [4] af(x^2+A2*x+A1,[A2,A1]);
  [[x^2+(#1)*x+(#0),1]]
  

  af_noalg では, poly に含まれる代数的数 ai を不定元 vi で置き換える. defpolylist は, [[vn,dn(vn,...,v1)],...,[v1,d(v1)]] なるリストである. ここで di(vi,...,v1) は ai の定義多項式において 代数的数を全て vj に置き換えたものである.

  [1] af_noalg(x^2+a2*x+a1,[[a2,a2^2+a1],[a1,a1^2+1]]);
  [[x^2+a2*x+a1,1]]
  

• 結果は, 通常の無平方分解, 因数分解と同様 [因子, 重複度] のリストである. af_noalg の場合, 因子 に現れる代数的数は, defpolylist に従って不定元に置き換えられる.
• 重複度を込めた因子の全ての積は, poly と定数倍の違いがあり得る.

[98] A = newalg(t^2-2);
(#0)
[99] asq(-x^4+6*x^3+(2*alg(0)-9)*x^2+(-6*alg(0))*x-2);
[[-x^2+3*x+(#0),2]]
[100] af(-x^2+3*x+alg(0),[alg(0)]);
[[x+(#0-1),1],[-x+(#0+2),1]]
[101] af_noalg(-x^2+3*x+a,[[a,x^2-2]]);
[[x+a-1,1],[-x+a+2,1]]

参照

cr_gcda, fctr, sqfr

9.5.11 sp, sp_noalg

sp(poly)

sp_noalg(poly)

:: 最小分解体を求める.

return

リスト

poly

多項式

• ‘sp’ で定義されている.
• 有理数係数の 1 変数多項式 poly の最小分解体, およびその体上での poly の 1 次因子への分解を求める.
• 結果は, poly の因子のリストと, 最小分解体の, 逐次拡大による表現 からなるリストである. sp_noalg では, 全ての代数的数が, 対応する 不定元 (即ち #i に対する t#i) に置き換えられる. これに より, sp_noalg の出力は, 整数係数多変数多項式のリストとなる.
• 最小分解体は, [root,algptorat(defpoly(root))] のリストとして 表現されている. すなわち, 求める最小分解体は, 有理数体に, この root を全て添加した体として得られる. 添加は, 右の方の root から順に 行われる.
• sp() は, 内部でノルムの計算のために sp_norm() をしばしば 起動する. ノルムの計算は, 状況に応じてさまざまな方法で行われるが, そこで用いられる方法が最善とは限らず, 単純な終結式の計算の方が高速 である場合もある. 大域変数 USE_RES を 1 に設定することにより, 常に終結式により計算 させることができる.

[101] L=sp(x^9-54);
[[x+(-#2),-54*x+(#1^6*#2^4),54*x+(#1^6*#2^4+54*#2),
54*x+(-#1^8*#2^2),-54*x+(#1^5*#2^5),54*x+(#1^5*#2^5+#1^8*#2^2),
-54*x+(-#1^7*#2^3-54*#1),54*x+(-#1^7*#2^3),x+(-#1)],
[[(#2),t#2^6+t#1^3*t#2^3+t#1^6],[(#1),t#1^9-54]]]
[102] for(I=0,M=1;I<9;I++)M*=L[0][I];
[111] M=simpalg(M);
-1338925209984*x^9+72301961339136
[112] ptozp(M);
-x^9+54

参照

asq, af, af_noalg, defpoly, algptorat, sp_norm.

9.5.12 set_field

set_field(rootlist)

:: 代数体を基礎体として設定する.

return

0

rootlist

root のリスト

• root のリスト rootlist で生成される代数体を基礎体として設定する.
• root は内部的に順序づけられているので, rootlist は集合として指定 すればよい. (順序は気にしなくてよい.)

[0] A=newalg(x^2+1);
(#0)
[1] B=newalg(x^3+A);
(#1)
[2] C=newalg(x^4+B);
(#1)
[3] set_field([C,B,A]);
0

参照

algtodalg, dalgtoalg, dptodalg, dalgtodp

9.5.13 algtodalg, dalgtoalg, dptodalg, dalgtodp

algtodalg(alg)

:: 代数的数 alg を DAlg に変換する.

dalgtoalg(dalg)

:: DAlg dalg を代数的数に変換する.

dptodalg(dp)

:: 分散多項式 dp を DAlg に変換する.

dalgtodp(dalg)

:: DAlg dalg を分散多項式に変換する.

return

代数的数, DAlg または [分散多項式,分母] なるリスト

alg

root を含む代数的数

dp

有理数係数分散多項式

• root を含む代数的数, DAlg および分散多項式間の変換を行う.
• DAlg が属すべき代数体は, set_field() により あらかじめ設定しておく必要がある.
• dalgtodp() は, 分子である整数係数分散多項式と, 分母である整数を要素に持つ リストを返す.
• algtodalg(), dptodalg() は簡単化された結果を返す.

[0] A=newalg(x^2+1);
(#0)
[1] B=newalg(x^3+A*x+A);
(#1)
[2] set_field([B,A]);
0
[3] C=algtodalg((A+B)^10);
((408)*<<2,1>>+(103)*<<2,0>>+(-36)*<<1,1>>+(-446)*<<1,0>>
+(-332)*<<0,1>>+(-218)*<<0,0>>)
[4] dalgtoalg(C);
((408*#0+103)*#1^2+(-36*#0-446)*#1-332*#0-218)
[5] D=dptodalg(<<10,10>>/10+2*<<5,5>>+1/3*<<0,0>>);
((-9)*<<2,1>>+(57)*<<2,0>>+(-63)*<<1,1>>+(-12)*<<1,0>>
+(-60)*<<0,1>>+(1)*<<0,0>>)/30
[6] dalgtodp(D);
[(-9)*<<2,1>>+(57)*<<2,0>>+(-63)*<<1,1>>+(-12)*<<1,0>>
+(-60)*<<0,1>>+(1)*<<0,0>>,30]

参照

set_field

この文書は11月 2, 2025にtexi2html 5.0を用いて生成されました。