6.1 数の演算

6.1.1 idiv, irem

idiv(i1,i2)

:: 整数除算による商.

irem(i1,i2)

:: 整数除算による剰余.

return

整数

i1 i2

整数

• i1 の i2 による整数除算による商, 剰余を求める.
• i2 は 0 であってはならない.
• 被除数が負の場合, 絶対値に対する値にマイナスをつけた値を返す.
• i1 % i2 は, 結果が正に正規化されることを除けば irem() の代わりに用いることができる.
• 多項式の場合は sdiv, srem を用いる.

[0] idiv(100,7);
14
[0] idiv(-100,7);
-14
[1] irem(100,7);
2
[1] irem(-100,7);
-2

参照

sdiv, sdivm, srem, sremm, sqr, sqrm, %.

6.1.2 fac

fac(i)

:: i の階乗.

return

整数

i

整数

• i の階乗を計算する.
• i が負の場合は 0 を返す.

[0] fac(50);
30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

6.1.3 igcd,igcdcntl

igcd(i1,i2)

:: 整数の GCD (最大公約数)

igcdcntl([i])

:: 整数 GCDのアルゴリズム選択

return

整数

i1 i2 i

整数

• igcd は i1 と i2 の GCD を求める.
• 引数が整数でない場合は, エラーまたは無意味な結果を返す.
• 多項式の場合は, gcd, gcdz を用いる.
• 整数 GCD にはさまざまな方法があり, igcdcntl で設定できる.

  0

  Euclid 互除法 (default)

  1

  binary GCD

  2

  bmod GCD

  3

  accelerated integer GCD

  2, 3 は [Weber] による.

  おおむね 3 が高速だが, 例外もある.

[0] A=lrandom(10^4)$
[1] B=lrandom(10^4)$
[2] C=lrandom(10^4)$
[3] D=A*C$
[4] E=A*B$
[5] cputime(1)$
[6] igcd(D,E)$
0.6sec + gc : 1.93sec(2.531sec)
[7] igcdcntl(1)$
[8] igcd(D,E)$  
0.27sec(0.2635sec)
[9] igcdcntl(2)$
[10] igcd(D,E)$  
0.19sec(0.1928sec)
[11] igcdcntl(3)$
[12] igcd(D,E)$  
0.08sec(0.08023sec)

参照

gcd, gcdz.

6.1.4 ilcm

ilcm(i1,i2)

:: 最小公倍数を求める.

return

整数

i1 i2

整数

• 整数 i1, i2 の最小公倍数を求める.
• 一方が 0 の場合 0 を返す.

参照

igcd,igcdcntl, mt_save, mt_load.

6.1.5 isqrt

isqrt(n)

:: 平方根を越えない最大の整数を求める.

return

非負整数

n

非負整数

6.1.6 inv

inv(i,m)

:: m を法とする i の逆数

return

整数

i m

整数

• ia ≡ 1 mod (m) なる整数 a を求める.
• i と m は互いに素でなければならないが, inv() は そのチェックは行わない.

[71] igcd(1234,4321);  
1
[72] inv(1234,4321);
3239
[73] irem(3239*1234,4321);
1

参照

igcd,igcdcntl.

6.1.7 prime, lprime

prime(index)

lprime(index)

:: 素数を返す

return

整数

index

整数

• prime(), lprime() いずれもシステムが内部に持つ 素数表の要素を返す. index は 0 以上の整数で, 素数表 のインデックスに用いられる. prime() は 16381 まで の素数を小さい順に 1900 個, lprime() は, 10 進 8 桁で最大の 素数から大きい順に 999 個返す. それ以外のインデックスに対しては 0 を返す.
• より一般的な素数生成函数としては, pari(nextprime,number) がある.

[95] prime(0);
2
[96] prime(1228);
9973
[97] lprime(0);
99999989
[98] lprime(999);
0

参照

pari.

6.1.8 random

random([seed])

:: 乱数を生成する.

seed

return

自然数

• 最大 2^32-1 の非負整数の乱数を生成する.
• 0 でない引数がある時, その値を seed として設定してから, 乱数を生成する.
• default の seed は固定のため, 種を設定しなければ, 生成される乱数の 系列は起動毎に一定である.
• 松本眞-西村拓士による Mersenne Twister (http://www.math.keio.ac.jp/matsumoto/mt.html) アルゴリズムの, 彼ら自身による実装を用いている.
• 周期は 2^19937-1 と非常に長い.
• mt_save により state をファイルに save できる. これを mt_load で読み込むことにより, 異る Asir セッション間で一つの乱数の系列を辿ることが できる.

参照

lrandom, mt_save, mt_load.

6.1.9 lrandom

lrandom(bit)

:: 多倍長乱数を生成する.

bit

return

自然数

• 高々 bit の非負整数の乱数を生成する.
• random を複数回呼び出して結合し, 指定の bit 長にマスクしている.

参照

random, mt_save, mt_load.

6.1.10 mt_save, mt_load

mt_save(fname)

:: 乱数生成器の現在の状態をファイルにセーブする.

mt_load(fname)

:: ファイルにセーブされた乱数生成器の状態をロードする.

return

0 または 1

fname

文字列

• ある状態をセーブし, その状態をロードすることで, 一つの疑似乱数系列を, 新規の Asir セッションで続けてたどることが できる.

[340] random();
3510405877
[341] mt_save("/tmp/mt_state");
1
[342] random();
4290933890
[343] quit;
% asir
This is Asir, Version 991108.
Copyright (C) FUJITSU LABORATORIES LIMITED.
3 March 1994. All rights reserved.
[340] mt_load("/tmp/mt_state");
1
[341] random();
4290933890

参照

random, lrandom.

6.1.11 nm, dn

nm(rat)

:: rat の分子.

dn(rat)

:: rat の分母.

return

整数または多項式

rat

有理数または有理式

• 与えられた有理数また有理式の分子及び分母を返す.
• 有理数の場合, 分母は常に正で, 符号は分子が持つ.
• 有理式の場合, 単に分母, 分子を取り出すだけである. 有理式に対しては, 約分は自動的には行われない. red() を明示的に呼び出す必要がある.

[2] [nm(-43/8),dn(-43/8)];
[-43,8]
[3] dn((x*z)/(x*y));
y*x
[3] dn(red((x*z)/(x*y)));
y

参照

red.

6.1.12 conj, real, imag

real(comp)

:: comp の実数部分.

imag(comp)

:: comp の虚数部分.

conj(comp)

:: comp の共役複素数.

return comp

複素数

• 複素数に対し, 実部, 虚部, 共役を求める.
• これらは, 多項式に対しても働く.

[111] A=(2+@i)^3; 
(2+11*@i)
[112] [real(A),imag(A),conj(A)];
[2,11,(2-11*@i)]

6.1.13 eval, deval

eval(obj[,prec])

deval(obj)

:: obj の値の評価.

return

数あるいは式

obj

一般の式

prec

整数

• obj に含まれる函数の値を可能な限り評価する.
• deval は倍精度浮動小数を結果として eval の場合, 有理数はそのまま残る.
• eval においては, 計算は MPFR ライブラリが行う. deval においては, 計算は C 数学ライブラリの関数を用いて行う.
• deval は複素数は扱えない.
• eval においては, prec を指定した場合, 計算は, 10 進 prec 桁程度で行われる. prec の指定がない場合, 現在設定されている精度で行われる. (See section setbprec, setprec.)

• 扱える函数は, 次の通り.

  sin, cos, tan,

  asin, acos, atan,

  sinh, cosh, tanh,

  asinh, acosh, atanh,

  exp, log, pow(a,b) (a^b)

• 以下の記号を数として評価できる. ただし @i を扱えるのは eval, deval のみである.

  @i

  虚数単位

  @pi

  円周率

  @e

  自然対数の底

[118] eval(exp(@pi*@i));   
-1.0000000000000000000000000000
[119] eval(2^(1/2));
1.414213562373095048763788073031
[120] eval(sin(@pi/3));
0.86602540378443864674620506632
[121] eval(sin(@pi/3)-3^(1/2)/2,50);
-2.78791084448179148471 E-58
[122] eval(1/2);
1/2
[123] deval(sin(1)^2+cos(1)^2);
1

参照

ctrl, setbprec, setprec.

6.1.14 pari

pari(func,arg,prec)

:: PARI の函数 func を呼び出す.

return

func 毎に異なる.

func

PARI の函数名

arg

func の引数

prec

整数

• PARI の函数を呼び出す.
• PARI [Batut et al.] は Bordeaux 大学で開発されフ リーソフトウェアとして公開されている. PARI は数式処理的な機能を有 してはいるが, 主なターゲットは整数論に関連した数 (bignum, bigfloat) の演算で, 四則演算に限らずbigfloat によるさまざまな 函数値の評価を高速に行うことができる. PARI は他のプログラムから サブルーチンライブラリとして用いることができ, また, ‘gp’ という PARIライブラリのインタフェースにより UNIX のアプリケーションとして 利用することもできる.
• 最後の引数 prec で計算精度を指定できる. prec を省略した場合 setprec() で指定した精度となる.
• 現時点で実行できる PARI の主な函数は次の通りである. いずれも 1 引数で Asir が対応できる型の引数をとる函数である. 実行できる函数の全リストは asir-contrib の ox_pari マニュアルを参照. なお各々の機能については PARI のマニュアルを参照のこと.

  abs, adj, arg, bigomega, binary, ceil, centerlift, cf, classno, classno2, conj, content, denom, det, det2, detr, dilog, disc, discf, divisors, eigen, eintg1, erfc, eta, floor, frac, galois, galoisconj, gamh, gamma, hclassno, hermite, hess, imag, image, image2, indexrank, indsort, initalg, isfund, isprime, ispsp, isqrt, issqfree, issquare, jacobi, jell, ker, keri, kerint, kerintg1, kerint2, kerr, length, lexsort, lift, lindep, lll, lllg1, lllgen, lllgram, lllgramg1, lllgramgen, lllgramint, lllgramkerim, lllgramkerimgen, lllint, lllkerim, lllkerimgen, lllrat, lngamma, logagm, mat, matrixqz2, matrixqz3, matsize, modreverse, mu, nextprime, norm, norml2, numdiv, numer, omega, order, ordred, phi, pnqn, polred, polred2, primroot, psi, quadgen, quadpoly, real, recip, redcomp, redreal, regula, reorder, reverse, rhoreal, roots, rootslong, round, sigma, signat, simplify, smalldiscf, smallfact, smallpolred, smallpolred2, smith, smith2, sort, sqr, sqred, sqrt, supplement, trace, trans, trunc, type, unit, vec, wf, wf2, zeta

• Asir で用いているのは PARI のほんの一部の機能である.

/* 行列の固有ベクトルを求める. */
[0] pari(eigen,newmat(2,2,[[1,1],[1,2]]));
[ -1.61803398874989484819771921990 0.61803398874989484826 ]
[ 1 1 ]
/* 1 変数多項式の根を求める. */
[1] pari(roots,t^2-2);
[ -1.41421356237309504876 1.41421356237309504876 ]

参照

setbprec, setprec.

6.1.15 setbprec, setprec

setbprec([n])

setprec([n])

:: setbprec, setprec は bigfloat の精度をそれぞれ 2 進, 10進 n 桁に設定する.

return

整数

n

整数

• 引数がある場合, bigfloat の桁数を n 桁に設定する. 引数のあるなしにかかわらず, 以前に設定されていた値を返す.
• bigfloat の計算は MPFR ライブラリによって行われる.
• bigfloat での計算に対し有効である. bigfloat の flag を on にする方法は, ctrl を参照.
• 設定できる桁数に上限はないが, 指定した桁数に設定されるとは 限らない. 大きめの値を設定するのが安全である.

[1] setprec();
15
[2] setprec(100);
15
[3] setprec(100);
99
[4] setbprec();
332

参照

ctrl, eval, deval.

6.1.16 setround

setround([mode])

:: bigfloat の丸めモードを mode に設定する.

return

整数

mode

整数

• 引数がある場合, bigfloat の丸めモードを mode に設定する. 引数のあるなしにかかわらず, 以前に設定されていた値を返す. 丸めモードの意味は次のとおり.

  0

  Round to nearest

  1

  Round toward 0

  2

  Round toward +infinity

  3

  Round toward -infinity

• bigfloat での計算に対し有効である. bigfloat の flag を on にする方法は, ctrl を参照.

[1] setprec();
15
[2] setprec(100);
15
[3] setprec(100);
99
[4] setbprec();
332

参照

ctrl, eval, deval.

6.1.17 setmod

setmod([p])

:: 有限体を GF(p) に設定する.

return

整数

n

2^27 未満の素数

• 有限体を GF(p) に設定する. 設定値を返す.
• 有限体の元の型を持つ数は, それ自身はどの有限体に属するかの情報を持たず, 現在設定されている素数 p により GF(p) 上での演算が適用される.
• 位数の大きな有限体に関しては see section 有限体に関する演算.

[0] A=dp_mod(dp_ptod(2*x,[x]),3,[]);
(2)*<<1>>
[1] A+A;
addmi : invalid modulus
return to toplevel
[1] setmod(3);
3
[2] A+A;
(1)*<<1>>

参照

dp_mod, dp_rat, 数の型.

6.1.18 ntoint32, int32ton

ntoint32(n)

int32ton(int32)

:: 非負整数と符号なし 32bit 整数の間の型変換.

return

符号なし 32bit 整数または非負整数

n

2^32 未満の非負整数

int32

符号なし 32bit 整数

• 非負整数 (識別子 1) の符号なし 32bit 整数 (識別子 10) への変換, またはその逆変換を行う.
• 32bit 整数は OpenXM の基本構成要素であり, 整数をその型で送信 する必要がある場合に用いる.

参照

分散計算, 数の型.

6.1.19 inttorat

inttorat(a,m,b)

:: 整数-有理数変換を行う.

return

リストまたは 0

a

m

b

整数

• 整数 a に対し, xa=y mod m を満たす正整数 x, 整数 y (x, |y| < b, GCD(x,y)=1) を求める.
• このような x, y が存在するなら [y,x] を返し, 存在しない場合には 0 を返す.
• b を floor(sqrt(m/2)) と取れば, x, y は存在すれば一意である. floor(sqrt(m/2)) は isqrt(floor(m/2)) で計算できる.

[2121] M=lprime(0)*lprime(1);
9996359931312779
[2122] B=isqrt(floor(M/2));
70697807
[2123] A=234234829304;
234234829304
[2124] inttorat(A,M,B);
[-20335178,86975031]

参照

ceil, floor, rint, dceil, dfloor, drint, isqrt.

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