noro_pd

noro_pd User’s Manual

Edition 1.0

Feb 2011

Copyright © Masayuki Noro 2011. All rights reserved.

1 準素分解パッケージ noro_pd.rr

このマニュアルでは, asir-contrib パッケージに収録されている, 準素パッケージ ‘noro_pd.rr’ について解説する. このパッケージを使うには, まず ‘noro_pd.rr’ をロードする.

[1539] load("noro_pd.rr");

このパッケージの函数を呼び出すには, 全て noro_pd. を先頭につける.

1.1 準素分解

1.1.1 noro_pd.syci_dec

noro_pd.syci_dec(I,vars[|options])

イデアル I の最短準素分解を計算する.

return

[QL(1),QL(2),...] なるリスト, 各 QL(i) は [[Q(i1),P(i1)],[(i2),P(i2)],...] なるリスト.

I

多項式リスト

vars

変数リスト

options

下の説明参照.

• イデアル I の最短準素分解を計算する. ‘noro_pd.rr’ で実装されている準素分解アルゴリズムは SYCI アルゴリズム と呼ばれるもので, ‘primdec’ に実装されている Shimoyama-Yokoyama (SY アルゴリズム) を改良したものである.

  イデアル I の付属素イデアル全体 Ass(I) を次のように分ける: A(1) を極小付属素イデアル全体とし, Ass(I)から A(1),...,A(i-1) を除いたものの中で極小なもの全体を A(i) とする. SYCI アルゴリズムは, A(i) を i の小さい順に 計算しつつ, 対応する準素成分 を計算するアルゴリズムである. 準素成分の計算は省略することができる. この 場合, I の付属素イデアルのみを計算するアルゴリズムとなる. A(i) に属する付属素イデアルおよび対応する準素成分はレベル i であるという.

  出力において, Q(ij) は I の Pij-準素成分であり, Q(ij) 全体が I の最短準素分解を与える. 各 QL(i) はレベル i の成分全体 を与える. 特に QL(1) は孤立成分および極小付属素イデアル全体を与える. QL(1) の各成分のみ, 3つ目の要素として極大独立集合を持つ.

• オプション ass=1 が指定された場合, QL(1) に現われる成分 Q(1j) のみ準素成分 (孤立準素成分)となるが, QL(2) 以降に現われる Q(ij) は I のある中間 分解成分となる. しかし, P(ij) は I の付属素イデアルであり, P(ij) 全体が I の付属素イデアル全体の集合を与えることは保証される.
• デフォルトでは有理数体上での分解を計算するが, オプション mod=p (p は30ビット以下の素数) を 指定すると p元体上での分解を計算する. ただし, p が小さいときには正しく計算 できないか, 無限ループに陥る. (p が 5桁以上なら問題ないであろう.)
• iso=n (nは 0,1,2,3のいずれか) を指定すると, saturation 計算の方法が変わる. デフォルトでは n=1 である.
• オプション time=1 を指定すると, 計算時間の内訳を表示する.
• オプション para=proclist を指定すると, 部分的な分散計算を行う. proclistは noro_pd.init_pprocs により生成されたプロセスのリストである.
• オプション f4=1 が指定された場合, 可能な限り F4 アルゴリズムを用いる. デフォルトでは Buchberger アルゴリズムを用いる.
• オプション trace=1 が指定された場合, 可能な限り trace アルゴリズムを用いる. デフォルトでは trace なしの Buchberger または F4 アルゴリズムを用いる.
• オプション intgb=1 が指定された場合, 複数のイデアルの共通部分を, 2 つずつの イデアルの共通部分計算の繰り返しとして計算する際に, 毎回その共通部分のグレブナー基底を 計算する. デフォルトではグレブナー基底を計算せずに繰り返す.

[1539] load("noro_pd.rr");
[1707] B=[x00*x11-x01*x10,x01*x12-x02*x11,x02*x13-x03*x12,x03*x14-x04*x13,
-x11*x20+x21*x10,-x21*x12+x22*x11,-x22*x13+x23*x12,-x23*x14+x24*x13]$
[1708] V=[x00,x01,x02,x03,x04,x10,x11,x12,x13,x14,x20,x21,x22,x23,x24]$
[1709] QD=noro_pd.syci_dec(B,V|time=1)$
[total,1.08407,ass,0.620039,pd,0.33202,iso,0.260016,int,0.024003,
ext,0.464029]
[elapsed,1.09038,ass,0.624087,pd,0.338769,iso,0.244057,int,0.0343642,
ext,0.466293]
[1710] map(length,QD);
[10,5,3,1]
[1711] QD[2][0];
[[x03*x01*x14*x20-x21*x04*x03*x10,(x23*x21*x02-x22*x21*x03)*x10,
x23*x21*x03*x10,x01*x12*x20-x21*x02*x10,-x01*x13*x20+x21*x03*x10,
-x21*x03*x14+x23*x04*x11,-x22*x03*x14+x23*x04*x12,x01^2,x03^2,
-x00*x11+x01*x10,x10^2,x01*x11,-x01*x12+x02*x11,x01*x13-x03*x11,
x10*x11,x11^2,-x02*x13+x03*x12,-x11*x12,x12^2,x03*x13,-x03*x14+x04*x13,
x11*x13,-x12*x13,x13^2,x13*x14,x14^2,-x11*x20+x21*x10,x21*x11,
x21*x12-x22*x11,x21*x13-x23*x11,x21^2,x22*x13-x23*x12,-x23*x13,
-x23*x14+x24*x13,x23^2],
[x01,x03,x10,x11,x12,x13,x14,x21,x23]]

1.1.2 noro_pd.prime_dec

noro_pd.syci_dec(I,vars[|options])

イデアル I の根基の素イデアル分解を計算する.

return

リスト (成分の詳細は下で説明する)

I

多項式リスト

vars

変数リスト

options

下の説明参照.

• デフォルトでは, I の根基の素イデアル分解の成分のリスト [P(1),P(2),...] を返す.
• オプション indep=1 が指定された場合, [[P(1),Y(1)],[P(2),Y(2)],...] を返す. ここで, Y(i) は P(i) に対する極大独立集合である.
• オプション radical=1 が指定された場合, 素イデアル成分のリスト PL と, I の根基 rad のペアのリスト [PL,rad] が返される.

[1712] PD=noro_pd.prime_dec(B,V|radical=1)$
[1713] PD[0][0];
[x10,-x11,x12,x13,x14]
[1714] PD[1];
[-x03*x02*x01*x14*x20+x24*x02*x01*x00*x13,...,x23*x14-x24*x13]

1.2 関連する関数

1.2.1 noro_pd.ideal_intersection

noro_pd.ideal_intersection(I1,I2,vars,ord[|mod=p])

イデアル I1, I2 の共通部分を計算する.

return

多項式リスト

I

多項式リスト

vars

変数リスト

ord

項順序

• 返されるリストは I1 と I2 の共通部分の ord に関するグレブナー 基底になっている.
• デフォルトでは有理数体上で計算だが, オプション mod=p が指定された場合 p元体上での計算を行う.

[1707] A=[j*h*g*f*e*d*b,j*i*g*d*c*b,j*i*h*g*d*b,j*i*h*e*b,i*e*c*b,z]$
[1708] B=[a*d-j*c,b*c,d*e-f*g*h]$
[1709] V=[a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,z]$
[1710] noro_pd.ideal_intersection(A,B,V,0);
[(j*h*g*f*e^2*d^2-j*h^2*g^2*f^2*e*d)*b,j*h*g*f*e*d*b*a,
-j*h*g*f*e*d*c*b,j*i*h*g*f*e*b*a,(-j*i*h*e*d^2+j*i*h^2*g*f*d)*b,
(-j*i*h*e^2*d+j*i*h^2*g*f*e)*b,-j*i*h*e*d*b*a,-j*i*h*g*d*b*a,
j*i*g*d*c*b,i*e*c*b,-z*e*d+z*h*g*f,-z*c*b,-z*d*a+z*j*c]

1.2.2 noro_pd.ideal_intersection_m

noro_pd.ideal_intersection_m(I1,I2,vars,ord[|mod=p])

イデアル I1, I2 の共通部分を計算する.

return

多項式リスト

I

多項式リスト

vars

変数リスト

ord

項順序

• I2 がグレブナー基底で, I1 の生成系の個数が多い場合に noro_pd.ideal_intersection より高速な場合がある.
• 返されるリストは共通部分の生成系だが 必ずしも共通部分のグレブナー基底になってはいない.
• デフォルトでは有理数体上で計算だが, オプション mod=p が指定された場合 p元体上での計算を行う.

[1754] B=[z*j*i*e*d*c*b+(z*i*h*g+z*j*h)*f*e*d*c,...,z*j*e*c*b+4*z*i*h*g*e*c]
[1755] V=[b,c,d,e,f,g,h,i,j,z]
[1756] G=nd_gr(B,V,0,0)$
[1757] cputime(1)$
0sec(1.907e-06sec)
[1758] I1=noro_pd.ideal_intersection(G,G,V,0)$
0.316sec + gc : 0.012sec(0.3301sec)
[1759] I2=noro_pd.ideal_intersection_m(G,G,V,0)$
0.064sec + gc : 0.012sec(0.07933sec)

1.2.3 noro_pd.ideal_list_intersection

noro_pd.ideal_intersection(ilist,vars,ord[|mod=p])

イデアルのリスト ilist の成分の共通部分を計算する.

return

多項式リスト

ilist

多項式リストのリスト

vars

変数リスト

• 返されるリストは共通部分のグレブナー基底になっている.
• デフォルトでは有理数体上で計算だが, オプション mod=p が指定された場合 p元体上での計算を行う.

[1709] PL=noro_pd.prime_dec(B,V|radical=1)$
[1710] Int=noro_pd.ideal_list_intersection(PL[0],V,0)$
[1711] gb_comp(Int,PL[1]);
1

1.2.4 noro_pd.colon

noro_pd.colon(I,f,vars[|mod=p])

I:f を計算する.

return

多項式リスト

I

多項式リスト

f

多項式

vars

変数リスト

• 返されるリストは I:f のグレブナー基底とは限らない.
• デフォルトでは有理数体上で計算だが, オプション mod=p が指定された場合 p元体上での計算を行う.

[1640] B=[(x+y+z)^50,(x-y+z)^50]$
[1641] V=[x,y,z]$
[1642] noro_pd.colon(B,y^98,V);
[-x-z,-y]

1.2.5 noro_pd.ideal_colon

noro_pd.colon(I,J,vars[|mod=p])

I:J を計算する.

return

多項式リスト

I

多項式リスト

J

多項式リスト

vars

変数リスト

• 返されるリストはI:Jのグレブナー基底になっている.
• デフォルトでは有理数体上で計算だが, オプション mod=p が指定された場合 p元体上での計算を行う.

[1640] B=[(x+y+z)^50,(x-y+z)^50]$
[1641] V=[x,y,z]$
[1642] noro_pd.ideal_colon(B,[(x+y+z)^49,(x-y+z)^49],V);
[-y^49*x-z*y^49,-y^50,-x^2-2*z*x+y^2-z^2]

1.2.6 noro_pd.sat

noro_pd.sat(I,f,vars[|mod=p])

I の f による saturation を計算する.

return

多項式リスト

I

多項式リスト

f

多項式

vars

変数リスト

• 返されるリストはI:fのグレブナー基底になっている.
• デフォルトでは有理数体上で計算だが, オプション mod=p が指定された場合 p元体上での計算を行う.

[1640] B=[(x+y+z)^50,(x-y+z)^50]$
[1641] V=[x,y,z]$
[1642] noro_pd.sat(B,y,V);
[1]

1.2.7 noro_pd.ideal_sat

noro_pd.ideal_sat(I,J,vars[|mod=p])

I:J を計算する.

return

多項式リスト

I

多項式リスト

J

多項式リスト

vars

変数リスト

• 返されるリストはI:Jのグレブナー基底になっている.
• デフォルトでは有理数体上で計算だが, オプション mod=p が指定された場合 p元体上での計算を行う.

[1640] B=[(x+y+z)^50,(x-y+z)^50]$
[1641] V=[x,y,z]$
[1642] noro_pd.ideal_sat(B,[(x+y+z)^49,(x-y+z)^49],V);      
[1]

1.2.8 noro_pd.init_pprocs

noro_pd.init_pprocs(m[|nox=1])

分散計算用プロセスを起動する.

return

整数リスト

m

正整数

• 分散計算に用いるためのプロセス (ox_asir)を起動し, その番号のリストを返す.
• ホームディレクトリの ‘.asirrc’ に load("noro_pd.rr")$ を 入れておくことで, ox_asir の起動時に ‘noro_pd.rr’ が 読み込まれ, 分散計算の準備ができる.
• オプション nox=1 が指定された場合, 起動されたプロセスからの 画面出力のためのウィンドウが開かない.

[1544] P=noro_pd.init_pprocs(6|nox=1)$
[1545] B=[x00*x11-x01*x10,x01*x12-x02*x11,x02*x13-x03*x12,x03*x14-x04*x13,
x04*x15-x05*x14,x05*x16-x06*x15,x06*x17-x07*x16,-x11*x20+x21*x10,
-x21*x12+x22*x11,-x22*x13+x23*x12,-x23*x14+x24*x13,-x24*x15+x25*x14,
-x25*x16+x26*x15,-x26*x17+x27*x16]$
[1546] V=[x00,x01,x02,x03,x04,x05,x06,x07,x10,x11,x12,x13,x14,x15,x16,
x17,x20,x21,x22,x23,x24,x25,x26,x27]$
[1547] noro_pd.syci_dec(B,V|time=1)$
[total,205.581,ass,108.743,pd,31.582,iso,64.9081,int,11.7367,ext,96.8381]
[elapsed,206.177,ass,109.052,pd,31.679,iso,65.0682,int,11.7853,ext,97.1254]
[1548] noro_pd.syci_dec(B,V|time=1,para=P)$
[total,30.0339,ass,29.5498,pd,23.7695,iso,1.96412,int,3.32021,ext,0.48403]
[elapsed,79.0897,ass,62.5683,pd,26.0532,iso,28.037,int,7.97536,ext,16.5214]

Index

目次

簡略化した目次

この文書について

この文書は5月 1, 2025にtexi2html 5.0を用いて生成されました。

ナビゲーションパネル中のボタンには以下の意味があります。

例では、以下に示す構造を持つ文書の1.2.3項を現在位置に仮定しています。

• 1. 第1項
  • 1.1 第1.1項
    • ...
  • 1.2 第1.2項
    • 1.2.1 第1.2.1項
    • 1.2.2 第1.2.2項
    • 1.2.3 第1.2.3項     <== 現在位置
    • 1.2.4 第1.2.4項
  • 1.3 第1.3項
    • ...
  • 1.4 第1.4項

この文書は5月 1, 2025にtexi2html 5.0を用いて生成されました。