1変数代数的局所コホモロジー類用パッケージ taji_alc

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`taji_alc.rem_formula`

taji_alc.rem_formula(polylist): :: 多項式f(x)を与えたときの剰余公式を求める.

return: switch および説明文を参照
polylist: f(x)をQ上で既約分解した [[因子,重複度,零点の記号],...] なるリスト
switch: オプション指定 case 0 : xの冪で整理し, リストで返す. case 10 : f(x)の冪で整理し, リストで返す. (一因子の場合のみ対応) case 20 : xの冪で整理し, symbolicな表現で返す. default : case 0

アルゴリズムは, エルミートの補間剰余を用いている.
剰余公式の表現方法はいくつか考えられるため, switchで選択式とした.
switch=0 の戻り値の見方を述べる. 例として, f(x)=f1(x)^m1*f2(x)^m2を考える. 入力は [[f1(x),m1,z1],[f2(x),m2,z2]] となる. そのとき戻り値は, [r_{f1}(x,z1),r_{f2}(x,z2)] なるリストで返される. これは, 剰余公式がなる形で与えられることを意味している. 各成分のr_{fi}(x,zi)は, [p^(mi-1)(zi)の係数となるxとziの多項式,...,p^(0)(zi)の係数となるxとziの多項式] なるリストである.
switch=10 の戻り値の見方を述べる. 例として, f(x)=f1(x)^mを考える. 入力は [[f1(x),m,z]] となる. そのとき戻り値は, [r_(m-1)(x,z),...,r_0(x,z)] なるリストで返される. 各成分は, 剰余公式をのようにf1(x)の冪で展開したときの各係数を意味している. 各成分のr_{i}(x,z)は, [p^(m-1)(z)の係数となるxとzの多項式,...,p^(0)(z)の係数となるxとzの多項式] なるリストである.
switch=20 の戻り値の見方を述べる. symbolicな出力のp^(m)(z)は, p(x)のm階の導関数にzを代入した値という意味である.
戻り値は, 与えた因子の全ての零点を代入したものの和として見る. これは因子が2次以上の多項式の場合に関係してくる. 例えば,
```
[228] taji_alc.rem_formula([[x^2+1,1,z]]);
[[-1/2*z*x+1/2]]
```
の正しい見方は, x^2+1の零点をa1,a2とおいたときに, zにa1とa2を代入した, r(x)=(-1/2*a1*x+1/2)+(-1/2*a2*x+1/2) である. しかし出力では, 零点の和の部分を便宜上省略して返す.

[583] taji_alc.rem_formula([[x-1,1,z1],[x-2,1,z2]]);
[[-x+2],[x-1]]
[584] taji_alc.rem_formula([[x-1,1,z1],[x-2,1,z2]]|switch=20);
(-p^(0)(z1)+p^(0)(z2))*x+2*p^(0)(z1)-p^(0)(z2)

[587] taji_alc.rem_formula([[x-1,2,z1]]);
[[x-1,1]]
[588] taji_alc.rem_formula([[x-1,2,z1]]|switch=20);
p^(1)(z1)*x-p^(1)(z1)+p^(0)(z1)

[494] taji_alc.rem_formula([[x-1,3,z1]]|switch=20);
1/2*p^(2)(z1)*x^2+(-p^(2)(z1)+p^(1)(z1))*x+1/2*p^(2)(z1)-p^(1)(z1)+p^(
0)(z1)

[229] taji_alc.rem_formula([[x+1,2,z1],[x^3-x-1,1,z2]]);
[[-x^4-x^3+x^2+2*x+1,-2*x^4-3*x^3+2*x^2+5*x+3],[(-1/23*z2^2-10/23*z2+1
6/23)*x^4+(-12/23*z2^2-5/23*z2+31/23)*x^3+(-5/23*z2^2+19/23*z2-12/23)*
x^2+(22/23*z2^2+13/23*z2-53/23)*x+16/23*z2^2-1/23*z2-26/23]]
[230] taji_alc.rem_formula([[x+1,2,z1],[x^3-x-1,1,z2]]|switch=20);
(-1/23*p^(0)(z2)*z2^2-10/23*p^(0)(z2)*z2-2*p^(0)(z1)+16/23*p^(0)(z2)-p
^(1)(z1))*x^4+(-12/23*p^(0)(z2)*z2^2-5/23*p^(0)(z2)*z2-3*p^(0)(z1)+31/
23*p^(0)(z2)-p^(1)(z1))*x^3+(-5/23*p^(0)(z2)*z2^2+19/23*p^(0)(z2)*z2+2
*p^(0)(z1)-12/23*p^(0)(z2)+p^(1)(z1))*x^2+(22/23*p^(0)(z2)*z2^2+13/23*
p^(0)(z2)*z2+5*p^(0)(z1)-53/23*p^(0)(z2)+2*p^(1)(z1))*x+16/23*p^(0)(z2
)*z2^2-1/23*p^(0)(z2)*z2+3*p^(0)(z1)-26/23*p^(0)(z2)+p^(1)(z1)

[231] taji_alc.rem_formula([[x^3-x-1,2,z]]|switch=10);
[[[(3/23*z^2-4/23)*x^2+(-1/23*z+3/23)*x-4/23*z^2+3/23*z+4/23,(162/529*
z^2-174/529*z-108/529)*x^2+(-105/529*z^2+54/529*z+70/529)*x-108/529*z^
2+116/529*z+72/529],[(-6/23*z^2+9/23*z+4/23)*x^2+(9/23*z^2-2/23*z-6/23
)*x+4/23*z^2-6/23*z+5/23]]]

参照

ChangeLog

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