群の定義については, 適当な数学の本を参照されたい.
この定理は可換とは限らない一般の群で成立するが, ここでは可換な場合の証明のみを紹介する. この証明の理解には群の定義を知ってるだけで十分である.
定理 17.1 の証明:
群 の
個の相異なる要素を
としよう.
このとき,
を考えるとこれらもまた,
の
個の相異なる元の集合となる.
なぜなら, たとえば
となると,
の逆元を両辺にかけることにより,
になり,
仮定に反するからである.
と
は集合として等しいのであるから,
を素数としよう.
とくにこの定理を,
の乗法群
もうすこしくわしくこの定理の説明をしよう.
で,
を
でわった余りをあらわすものとする.
このとき
ヒント:
と
にユークリッドの互除法を適用せよ.
Asir では, 関数 inv を
,
より
を求めるのに
利用できる.
[346] for (I=1; I<5; I++) print(inv(I,5)); 1 3 2 4上の結果をみればわかるように, たしかに